奇数之和为什么是平方数

先算几个例子

1 = 1^2, \qquad 1 + 3 = 2^2, \qquad 1 + 3 + 5 = 3^2.

这些例子提示了一个猜想：前几个正奇数的和，恰好等于项数的平方。例子让我们发现关系，但还不能说明它对任意项数都成立。

设 $n$ 是一个正整数，表示一共加了多少项。第 $n$ 个正奇数是 $2n-1$ ；例如 $n=4$ 时，第四个正奇数就是 $7$ 。

用 $S$ 表示这些数的和，要证明的关系是：

S = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2.

把同一个和按两个方向写出来：

\begin{aligned} S &= 1 + 3 + \cdots + (2n-1), \\ S &= (2n-1) + (2n-3) + \cdots + 1. \end{aligned}

两行的第 $k$ 项分别是 $2k-1$ 和 $2(n-k)+1$ 。把它们相加，得到 $2n$ ，与这一列的位置 $k$ 无关。

一共有 $n$ 列，所以两行相加后：

2S = n \cdot 2n = 2n^2, \qquad S = n^2.

这里处理的是两份相同的和，因此最后要除以 $2$ 。

先不看参考思路，求前 $n$ 个正偶数的和，并说明每一步的理由。可以先用 $n=3$ 检查自己的结果。

写完后查看参考思路

设 $E=2+4+\cdots+2n$ 。正着与倒着各写一次，每一列的和是 $2n+2$ ，共有 $n$ 列：

2E = n(2n+2), \qquad E = n(n+1).

当 $n=3$ 时， $2+4+6=12=3\times4$ 。这个代入检查能帮助发现错误，适用于任意正整数的理由仍来自前面的推导。

明天不看公式，解释为什么「倒着再写一次」有用。再判断：从第三个正奇数开始求和，结果还能直接写成 $n^2$ 吗？